2017年高一（上）数学期中复习资料

 

　　2 1 三角函数公式表

　　同角三角函数的基本关系式

　　倒数关系: 商的关系： 平方关系：

　　tanα ·cotα=1

　　sinα ·cscα=1

　　cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα

　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1

　　1+tan2α=sec2α

　　1+cot2α=csc2α

　　(六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”)

　　诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。)

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　sin(2kπ+α)=sinα

　　cos(2kπ+α)=cosα

　　tan(2kπ+α)=tanα

　　cot(2kπ+α)=cotα

　　(其中k∈Z)

　　两角和与差的三角函数公式 通用公式

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　tanα+tanβ

　　tan(α+β)=——————

　　1-tanα ·tanβ

　　tanα-tanβ

　　tan(α-β)=——————

　　1+tanα ·tanβ

　　2tan(α/2)

　　sinα=——————

　　1+tan2(α/2)

　　1-tan2(α/2)

　　cosα=——————

　　1+tan2(α/2)

　　2tan(α/2)

　　tanα=——————

　　1-tan2(α/2)

　　半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

　　二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin2α=2sinαcosα

　　cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

　　2tanα

　　tan2α=—————

　　1-tan2α

　　sin3α=3sinα-4sin3α

　　cos3α=4cos3α-3cosα

　　3tanα-tan3α

　　tan3α=——————

　　1-3tan2α

　　三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式

　　α+β α-β

　　sinα+sinβ=2sin———·cos———

　　2 2

　　α+β α-β

　　sinα-sinβ=2cos———·sin———

　　2 2

　　α+β α-β

　　cosα+cosβ=2cos———·cos———

　　2 2

　　α+β α-β

　　cosα-cosβ=-2sin———·sin———

　　sinα ·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　2

　　1

　　cosα ·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　2

　　1

　　cosα ·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　2

　　1

　　sinα ·sinβ=— -[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　2

　　化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式

　　集合、函数

　　集合 简单逻辑

　　任一x∈A x∈B，记作A B

　　A B，B A A=B

　　A B={x|x∈A，且x∈B}

　　A B={x|x∈A，或x∈B}

　　card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B)

　　(1)命题

　　原命题 若p则q

　　逆命题 若q则p

　　否命题 若 p则 q

　　逆否命题 若 q，则 p

　　(2)四种命题的关系

　　(3)A B，A是B成立的充分条件

　　B A，A是B成立的必要条件

　　A B，A是B成立的充要条件

　　函数的性质 指数和对数

　　(1)定义域、值域、对应法则

　　(2)单调性

　　对于任意x1，x2∈D

　　若x1

　　若x1f(x2)，称f(x)在D上是减函数

　　(3)奇偶性

　　对于函数f(x)的定义域内的任一x，若f(-x)=f(x)，称f(x)是偶函数

　　若f(-x)=-f(x)，称f(x)是奇函数

　　(4)周期性

　　对于函数f(x)的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数 (1)分数指数幂

　　正分数指数幂的意义是

　　负分数指数幂的意义是

　　(2)对数的性质和运算法则

　　loga(MN)=logaM+logaN

　　logaMn=nlogaM(n∈R)

　　指数函数 对数函数

　　(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指数函数

　　(2)x∈R，y>0

　　图象经过(0，1)

　　a>1时，x>0，y>1;x<0，0

　　00，01

　　a> 1时，y=ax是增函数

　　00，a≠1)叫对数函数

　　(2)x>0，y∈R

　　图象经过(1，0)

　　a>1时，x>1，y>0;0

　　01，y<0;00

　　a>1时，y=logax是增函数

　　0

　　指数方程和对数方程

　　基本型

　　logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1)

　　同底型

　　logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1)

　　换元型 f(ax)=0或f (logax)=0

　　数列

　　数列的基本概念 等差数列

　　(1)数列的通项公式an=f(n)

　　(2)数列的递推公式

　　(3)数列的通项公式与前n项和的关系

　　an+1-an=d

　　an=a1+(n-1)d

　　a，A，b成等差 2A=a+b

　　m+n=k+l am+an=ak+al

　　等比数列 常用求和公式

　　an=a1qn_1

　　a，G，b成等比 G2=ab

　　m+n=k+l aman=akal

　　不等式

　　不等式的基本性质 重要不等式

　　a>b b

　　a>b，b>c a>c

　　a>b a+c>b+c

　　a+b>c a>c-b

　　a>b，c>d a+c>b+d

　　a>b，c>0 ac>bc

　　a>b，c<0 ac

　　a>b>0，c>d>0 ac

　　a>b>0 dn>bn(n∈Z，n>1)

　　a>b>0 > (n∈Z，n>1)

　　(a-b)2≥0

　　a，b∈R a2+b2≥2ab

　　|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

　　证明不等式的基本方法

　　比较法

　　(1)要证明不等式a>b(或a

　　a-b>0(或a-b<0=即可

　　(2)若b>0，要证a>b，只需证明 ，

　　要证a

　　综合法 综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式(由因导果)的方法。

　　分析法 分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“持果索因”

　　复数

　　代数形式 三角形式

　　a+bi=c+di a=c，b=d

　　(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

　　(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

　　(a+bi)(c+di )=(ac-bd)+(bc+ad)i

　　a+bi=r(cosθ+isinθ)

　　r1=(cosθ1+isinθ1)??r2(cosθ2+isinθ2)

　　=r1??r2〔cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)〕

　　〔r(cosθ+sinθ)〕n=rn(cosnθ+isinnθ)

　　k=0，1，……，n-1

　　解析几何

　　1、直线

　　两点距离、定比分点 直线方程

　　|AB|=| |

　　|P1P2|=

　　y-y1=k(x-x1)

　　y=kx+b

　　两直线的位置关系 夹角和距离

　　或k1=k2，且b1≠b2

　　l1与l2重合

　　或k1=k2且b1=b2

　　l1与l2相交

　　或k1≠k2

　　l2⊥l2

　　或k1k2=-1 l1到l2的角

　　l1与l2的夹角

　　点到直线的距离

　　2.圆锥曲线

　　圆 椭 圆

　　标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2

　　圆心为(a，b)，半径为R

　　一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

　　其中圆心为( ),

　　半径r

　　(1)用圆心到直线的距离d和圆的半径r判断或用判别式判断直线与圆的位置关系

　　(2)两圆的位置关系用圆心距d与半径和与差判断 椭圆

　　焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

　　(b2=a2-c2)

　　离心率

　　准线方程

　　焦半径|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0

　　双曲线 抛物线

　　双曲线

　　焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

　　(a，b>0，b2=c2-a2)

　　离心率

　　准线方程

　　焦半径|MF1|=ex0+a，|MF2|=ex0-a 抛物线y2=2px(p>0)

　　焦点F

　　准线方程

　　坐标轴的平移

　　这里(h，k)是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性

　　2.集合表示方法①列举法 ②描述法

　　③韦恩图 ④数轴法

　　3.集合的运算

　　⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

　　⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB

　　Cu(A∪B)=CuA∩CuB

　　4.集合的性质

　　⑴n元集合的子集数：2n

　　真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2

　　高中数学概念总结

　　一、 函数

　　1、 若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 ，所有非空真子集的个数是 。

　　二次函数 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即 ， 和 (顶点式)。

　　2、 幂函数 ，当n为正奇数，m为正偶数，m

　　3、 函数 的大致图象是

　　由图象知，函数的值域是 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是 。

　　二、 三角函数

　　1、 以角 的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点的点 ，点P到原点的距离记为 ，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

　　2、同角三角函数的关系中，平方关系是： ， ， ;

　　倒数关系是： ， ， ;

　　相除关系是： ， 。

　　3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： ， = ， 。

　　4、 函数 的较大值是 ，较小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ;其图象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。

　　5、 三角函数的单调区间：

　　的递增区间是 ，递减区间是 ; 的递增区间是 ，递减区间是 ， 的递增区间是 ， 的递减区间是 。

　　6、

　　7、二倍角公式是：sin2 =

　　cos2 = = =

　　tg2 = 。

　　8、三倍角公式是：sin3 = cos3 =

　　9、半角公式是：sin = cos =

　　tg = = = 。

　　10、升幂公式是： 。

　　11、降幂公式是： 。

　　12、通用公式：sin = cos = tg =

　　13、sin( )sin( )= ，

　　cos( )cos( )= = 。

　　14、 = ;

　　= ;

　　= 。

　　15、 = 。

　　16、sin180= 。

　　17、特殊角的三角函数值：

　　0

　　sin 0 1 0

　　cos 1 0 0

　　tg 0 1 不存在 0 不存在

　　ctg 不存在 1 0 不存在 0

　　18、正弦定理是(其中R表示三角形的外接圆半径)：

　　19、由余弦定理先进形式， =

　　由余弦定理第二形式，cosB=

　　20、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则：

　　① ;② ;

　　③ ;④ ;

　　⑤ ;⑥

　　21、三角学中的射影定理：在△ABC 中， ，…

　　22、在△ABC 中， ，…

　　23、在△ABC 中：

　　24、积化和差公式：

　　① ，

　　② ，

　　③ ，

　　④ 。

　　25、和差化积公式：

　　① ，

　　② ，

　　③ ，

　　④ 。

　　三、 反三角函数

　　1、 的定义域是[-1，1]，值域是 ，奇函数，增函数;

　　的定义域是[-1，1]，值域是 ，非奇非偶，减函数;

　　的定义域是R，值域是 ，奇函数，增函数;

　　的定义域是R，值域是 ，非奇非偶，减函数。

　　2、当 ;

　　对任意的 ，有：

　　当 。

　　3、较简三角方程的解集：

　　四、 不等式

　　1、若n为正奇数，由 可推出 吗? ( 能 )

　　若n为正偶数呢? ( 均为非负数时才能)

　　2、同向不等式能相减，相除吗 (不能)

　　能相加吗? ( 能 )

　　能相乘吗? (能，但有条件)

　　3、两个正数的均值不等式是：

　　三个正数的均值不等式是：

　　n个正数的均值不等式是：

　　4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

　　6、 双向不等式是：

　　左边在 时取得等号，右边在 时取得等号。

　　五、 数列

　　1、等差数列的通项公式是 ，前n项和公式是： = 。

　　2、等比数列的通项公式是 ，

　　前n项和公式是：

　　3、当等比数列 的公比q满足 <1时， =S= 。一般地，如果无穷数列 的前n项和的极限 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S= 。

　　4、若m、n、p、q∈N，且 ，那么：当数列 是等差数列时，有 ;当数列 是等比数列时，有 。

　　5、 等差数列 中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=60;

　　6、等比数列 中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=70;

　　六、 复数

　　1、 怎样?(先求n被4除所得的余数， )

　　2、 是1的两个虚立方根，并且：

　　3、 复数集内的三角形不等式是： ，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向(同向)时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向(反向)时取等号。

　　4、 棣莫佛定理是：

　　5、 若非零复数 ，则z的n次方根有n个，即：

　　它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系?

　　都位于圆心在原点，半径为 的圆上，并且把这个圆n等分。

　　6、 若 ，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB(O为坐标原点)的面积是 。

　　7、 = 。

　　8、 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

　　① 轨迹为一条射线。

　　② 轨迹为一条射线。

　　③ 轨迹是一个圆。

　　④ 轨迹是一条直线。

　　⑤ 轨迹有三种可能情形：a)当 时，轨迹为椭圆;b)当 时，轨迹为一条线段;c)当 时，轨迹不存在。

　　⑥ 轨迹有三种可能情形：a)当 时，轨迹为双曲线;b) 当 时，轨迹为两条射线;c) 当 时，轨迹不存在。

　　七、 排列组合、二项式定理

　　1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点?

　　加法分类，类类独立;乘法分步，步步相关。

　　2、排列数公式是： = = ;

　　排列数与组合数的关系是：

　　组合数公式是： = = ;

　　组合数性质： = + =

　　= =

　　3、 二项式定理： 二项展开式的通项公式：

　　八、 解析几何

　　1、 沙尔公式：

　　2、 数轴上两点间距离公式：

　　3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：

　　4、 若点P分有向线段 成定比λ，则λ=

　　5、 若点 ，点P分有向线段 成定比λ，则：λ= = ;

　　=

　　=

　　若 ，则△ABC的重心G的坐标是 。

　　6、求直线斜率的定义式为k= ，两点式为k= 。

　　7、直线方程的几种形式：

　　点斜式： ， 斜截式：

　　两点式： ， 截距式：

　　一般式：

　　经过两条直线 的交点的直线系方程是：

　　8、 直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：

　　直线 与 的夹角θ满足：

　　直线 ，则从直线 到直线 的角θ满足：

　　直线 与 的夹角θ满足：

　　9、 点 到直线 的距离：

　　10、两条平行直线 距离是

　　11、圆的标准方程是：

　　圆的一般方程是：

　　其中，半径是 ，圆心坐标是

　　思考：方程 在 和 时各表示怎样的图形?

　　12、若 ，则以线段AB为直径的圆的方程是

　　经过两个圆

　　，

　　的交点的圆系方程是：

　　经过直线 与圆 的交点的圆系方程是：

　　13、圆 为切点的切线方程是

　　一般地，曲线 为切点的切线方程是： 。例如，抛物线 的以点 为切点的切线方程是： ，即： 。

　　注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

　　14、研究圆与直线的位置关系较常用的方法有两种，即：

　　①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离;

　　②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

　　15、抛物线标准方程的四种形式是：

　　16、抛物线 的焦点坐标是： ，准线方程是： 。

　　若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是： ，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是： 。

　　17、椭圆标准方程的两种形式是： 和

　　。

　　18、椭圆 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 。其中 。

　　19、若点 是椭圆 上一点， 是其左、右焦点，则点P的焦半径的长是 和 。

　　20、双曲线标准方程的两种形式是： 和

　　。

　　21、双曲线 的焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径的长是 ，渐近线方程是 。其中 。

　　22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。

　　23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ;

　　若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 。

　　24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有： 。

　　25、平移坐标轴，使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是(h，k)，若点P在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ，则 = ， = 。

　　九、 极坐标、参数方程

　　1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是： 。

　　2、 若直线 经过点 ，则直线参数方程的标准形式是： 。其中点P对应的参数t的几何意义是：有向线段 的数量。

　　若点P1、P2、P是直线 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则： ;当点P分有向线段 时， ;当点P是线段P1P2的中点时， 。

　　3、圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是： 。

　　3、 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为 直角坐标为 ，则 ， ， 。

　　4、 经过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程是： ，

　　经过点 ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是： ，

　　经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是： ，

　　经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是： 。

　　5、 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是 ;

　　圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;

　　圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;

　　圆心在点 ，半径为 的圆的极坐标方程是 。

　　6、 若点M 、N ，则 。

　　十、 立体几何

　　1、求二面角的射影公式是 ，其中各个符号的含义是： 是二面角的一个面内图形F的面积， 是图形F在二面角的另一个面内的射影， 是二面角的大小。

　　2、若直线 在平面 内的射影是直线 ，直线m是平面 内经过 的斜足的一条直线， 与 所成的角为 ， 与m所成的角为 , 与m所成的角为θ，则这三个角之间的关系是 。

　　3、体积公式：

　　柱体： ，圆柱体： 。

　　斜棱柱体积： (其中， 是直截面面积， 是侧棱长);

　　锥体： ，圆锥体： 。

　　台体： ， 圆台体：

　　球体： 。

　　4、 侧面积：

　　直棱柱侧面积： ，斜棱柱侧面积： ;

　　正棱锥侧面积： ，正棱台侧面积： ;

　　圆柱侧面积： ，圆锥侧面积： ，

　　圆台侧面积： ，球的表面积： 。

　　5、几个基本公式：

　　弧长公式： ( 是圆心角的弧度数， >0);

　　扇形面积公式： ;

　　圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式： ;

　　圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式： 。

　　经过圆锥顶点的较大截面的面积为(圆锥的母线长为 ，轴截面顶角是θ)：

　　十一、比例的几个性质

　　1、比例基本性质：

　　2、反比定理：

　　3、更比定理：

　　5、 合比定理;

　　6、 分比定理：

　　7、 合分比定理：

　　8、 分合比定理：

　　9、 等比定理：若 ， ，则 。

　　十二、复合二次根式的化简

　　当 是一个完全平方数时，对形如 的根式使用上述公式化简比较方便。

　　⑵并集元素个数：

　　n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B)

　　5.N 自然数集或非负整数集

　　Z 整数集 Q有理数集 R实数集

　　6.简易逻辑中符合命题的真值表

　　p 非p

　　真 假

　　假 真

　　二.函数

　　1.二次函数的极点坐标：

　　函数 的顶点坐标为

　　2.函数 的单调性：

　　在 处取极值

　　3.函数的奇偶性：

　　在定义域内，若 ，则为偶函数;若 则为奇函数。

 

 

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